数列の基本｜等差数列と等比数列の公式と求め方

数列は、一定の規則に従って並んだ数の列です。高校数学Bでは、隣り合う項の差が一定の等差数列と、比が一定の等比数列を中心に、その一般項(n番目の項を表す式)と和の公式を学びます。

数列の基本用語

数列の1番目の項を初項、n番目の項を第n項(一般項、anと書く)といいます。数列全体は {an} と表します。

等差数列

定義

隣り合う項の差が常に一定である数列を等差数列といい、この一定の差を公差といいます。

a(n+1) - an = d（dは公差）

一般項

an = a1 + (n-1)d

例：初項3、公差4の等差数列の第10項は 3 + (10-1)×4 = 3+36 = 39

等差中項

3つの数a、b、cがこの順で等差数列をなすとき、真ん中の数bは両端の数の平均になります。

b = (a+c) / 2

和の公式

初項a1、末項an、項数nの等差数列の和Snは

Sn = n(a1+an) / 2

一般項の式を代入すると Sn = n{2a1+(n-1)d} / 2 とも表せます。

例：1から100までの整数の和は、初項1、末項100、項数100の等差数列の和なので Sn = 100×(1+100)/2 = 5050

等比数列

定義

隣り合う項の比が常に一定である数列を等比数列といい、この一定の比を公比といいます。

a(n+1) / an = r（rは公比）

一般項

an = a1 × r^(n-1)

例：初項2、公比3の等比数列の第5項は 2 × 3^4 = 2×81 = 162

等比中項

3つの数a、b、cがこの順で等比数列をなすとき、b^2 = ac が成り立ちます(ただしa、cは同符号)。

和の公式

初項a1、公比r（r≠1）、項数nの等比数列の和Snは

Sn = a1(1-r^n) / (1-r) = a1(r^n-1) / (r-1)

r=1のときは全ての項がa1で等しいため、Sn = n×a1 になります。

例：初項1、公比2、項数10の等比数列の和は Sn = 1×(2^10-1)/(2-1) = 1023

数列の和の記号Σ

Σ(シグマ)は、数列の和を簡潔に表す記号です。

Σ(k=1からnまで) ak = a1+a2+…+an

基本的なΣの公式

• Σ(k=1からnまで) k = n(n+1)/2
• Σ(k=1からnまで) k^2 = n(n+1)(2n+1)/6
• Σ(k=1からnまで) k^3 = {n(n+1)/2}^2
• Σ(k=1からnまで) c = nc（cは定数）

これらの公式は、数列の和を求める問題全般で頻繁に使われる基礎公式です。

階差数列

数列{an}の隣り合う項の差 bn = a(n+1)-an を階差数列といいます。階差数列がわかれば、もとの数列の一般項は次の式で求められます(n≥2のとき)。

an = a1 + Σ(k=1からn-1まで) bk

まとめ

数列の基本は、隣り合う項の「差」が一定の等差数列と、「比」が一定の等比数列の2種類です。それぞれ一般項(an)と和(Sn)の公式が対になっており、公比rを含む等比数列の和はr=1の場合分けを忘れないことが重要です。Σの基本公式(1乗、2乗、3乗の和)を覚えておくと、より複雑な数列の和も求められるようになります。