極限の基本｜数列と関数の極限、不定形の処理方法を解説する

極限は、数列や関数の値が「ある値に限りなく近づく」ときの、その近づいていく先の値を考える概念です。数学IIIの微分・積分の土台となる、重要な単元です。

数列の極限

定義

数列{an}において、nを限りなく大きくしたときにanがある一定の値αに限りなく近づくとき、この数列は「αに収束する」といい、次のように書きます。

lim(n→∞) an = α

αに近づかず、限りなく大きくなる場合は「正の無限大に発散する」、限りなく小さくなる場合は「負の無限大に発散する」といい、それぞれ次のように書きます。

lim(n→∞) an = ∞、lim(n→∞) an = -∞

基本的な極限

lim(n→∞) 1/n = 0
lim(n→∞) c = c（cは定数、定数列はその値自身に収束する）
等比数列 r^n について：|r|<1のときlim(n→∞) r^n = 0、r=1のときlim(n→∞) r^n = 1、r>1のとき正の無限大に発散、r≤-1のとき振動する(極限を持たない)

極限の性質(数列)

lim an = α、lim bn = β のとき

lim(an+bn) = α+β
lim(an-bn) = α-β
lim(anbn) = αβ
lim(an/bn) = α/β（β≠0のとき）

関数の極限

定義

関数f(x)において、xがaに限りなく近づくとき、f(x)がある値αに限りなく近づくならば、次のように書きます。

lim(x→a) f(x) = α

多くの場合、f(x)が連続な関数であれば、単純にx=aを代入した値がそのまま極限値になります。

片側からの極限

xがaより大きい値から近づく極限を右極限、aより小さい値から近づく極限を左極限といいます。右極限と左極限が一致するとき、その点での極限が存在するといえます。

不定形の処理

分母・分子がともに0に近づく「0/0」や、ともに無限大に発散する「∞/∞」の形は、そのまま代入すると値が定まらないため「不定形」と呼ばれ、式を変形してから極限を求める必要があります。

因数分解による処理(0/0型)

例題：lim(x→2) (x^2-4)/(x-2) を求めよ。

解法：x^2-4 = (x-2)(x+2) と因数分解できるので

(x^2-4)/(x-2) = (x-2)(x+2)/(x-2) = x+2（x≠2のとき）

よって lim(x→2) (x^2-4)/(x-2) = lim(x→2) (x+2) = 4

有理化による処理

根号を含む0/0型の不定形は、分母または分子を有理化することで解消できる場合があります。

例題：lim(x→0) (√(x+1)-1)/x を求めよ。

解法：分子分子に√(x+1)+1をかけて有理化すると

(√(x+1)-1)(√(x+1)+1) / {x(√(x+1)+1)} = x / {x(√(x+1)+1)} = 1/(√(x+1)+1)

よって lim(x→0) 1/(√(x+1)+1) = 1/2

∞/∞型の処理

分母の最も次数の高い項で分母・分子を割ることで、次数を下げて極限を求めます。

例題：lim(x→∞) (2x^2+3x)/(x^2+1) を求めよ。

解法：分母・分子をx^2で割ると (2+3/x)/(1+1/x^2)。x→∞のとき3/xと1/x^2はともに0に近づくので、極限は 2/1 = 2

重要な極限公式

sinθ/θ に関する極限は、微分の公式(sinxの導関数)を導く際の基礎となる重要な極限です。

lim(θ→0) sinθ/θ = 1（θはラジアン単位）

まとめ

極限は、数列や関数の値が近づいていく先を考える概念で、多くの場合はそのまま代入すれば求まりますが、0/0や∞/∞のような不定形になった場合は、因数分解・有理化・最高次数での割り算といった式変形を行ってから極限を求める必要があります。これらの処理パターンを身につけておくことが、数学IIIの微分・積分を学ぶ上での土台になります。