確率分布と期待値｜高校数学の統計入門、分散と二項分布まで
確率変数とは、サイコロの出た目やくじの当選金額のように、試行の結果によって値が定まる変数のことです。確率分布は、その確率変数がそれぞれの値をとる確率を整理したもので、平均的にどんな値が期待できるかを期待値という数値で表せます。
確率変数と確率分布
確率変数
試行の結果に応じて数値が決まる変数を確率変数といい、Xなどの記号で表します。たとえばサイコロを1回投げるとき、出た目をXとすると、Xは1〜6の値をとる確率変数です。
確率分布表
確率変数Xが取りうる値 x1, x2, …, xn と、それぞれの値をとる確率 p1, p2, …, pn の対応を表にしたものを確率分布表といいます。
| X | x1 | x2 | … | xn | 計 |
|---|---|---|---|---|---|
| P | p1 | p2 | … | pn | 1 |
すべての確率の合計は必ず1になります（p1+p2+…+pn=1）。
期待値
定義
確率変数Xの期待値E(X)は、Xが取りうる各値に、その値をとる確率をかけて合計したものです。
E(X) = x1p1 + x2p2 + … + xnpn
期待値は、その試行を何度も繰り返したときに平均的に得られると期待できる値を表します。
例題：1個のさいころを1回投げて出た目の期待値を求めよ。
解法：出る目は1〜6が確率1/6ずつなので
E(X) = 1×(1/6) + 2×(1/6) + 3×(1/6) + 4×(1/6) + 5×(1/6) + 6×(1/6) = 21/6 = 3.5
期待値の性質
- E(aX+b) = aE(X)+b（a、bは定数）
- E(X+Y) = E(X)+E(Y)（XとYが独立でなくても常に成り立つ）
分散と標準偏差
分散
確率変数Xの分散V(X)は、Xの値が期待値からどれだけ散らばっているかを表す指標です。
V(X) = E{(X-E(X))^2} = E(X^2) - {E(X)}^2
実際の計算では、右側の「2乗の期待値から期待値の2乗を引く」形を使うほうが手間が少なくなります。
標準偏差
分散の正の平方根を標準偏差といいます。
σ(X) = √V(X)
分散の性質
V(aX+b) = a^2 × V(X)（bを足しても散らばり方は変わらないため、bは影響しない）
二項分布
定義
1回の試行で事象Aが起こる確率がpのとき、この独立な試行をn回行ってAがちょうどk回起こる確率変数Xの分布を、二項分布 B(n, p) といいます。
P(X=k) = nCk × p^k × (1-p)^(n-k)
二項分布の期待値と分散
二項分布 B(n, p) に従う確率変数Xについて、次の公式が成り立ちます。
- 期待値：E(X) = np
- 分散：V(X) = np(1-p)
例題：コインを10回投げるとき、表が出る回数Xの期待値と分散を求めよ。
解法：p=1/2、n=10なので、E(X) = 10×(1/2) = 5、V(X) = 10×(1/2)×(1/2) = 2.5
まとめ
確率分布は、確率変数が取りうる値とその確率の対応関係を整理したもので、期待値E(X)はその平均的な見込み値、分散V(X)は散らばりの大きさを表します。多くの入試問題で登場する二項分布は、期待値np、分散np(1-p)という簡潔な公式で計算できるため、成功確率pと試行回数nさえわかれば素早く求められます。