複素数の基本｜虚数単位iと複素数平面、四則演算の求め方まで
複素数は、実数だけでは解けない方程式(x^2 = -1など)を扱うために考え出された数の体系です。虚数単位iを導入することで、すべての2次方程式が解を持つようになります。
虚数単位iと複素数の定義
虚数単位
2乗すると-1になる数を虚数単位といい、iと書きます。
i^2 = -1
複素数の形
複素数は a + bi（a、bは実数）の形で表されます。aを実部、bを虚部と呼びます。b=0のときは実数(a)そのものになるため、実数は複素数の特別な場合とみなせます。b≠0のとき、この数を虚数といい、特にa=0のとき純虚数といいます。
複素数の四則演算
z1 = a+bi、z2 = c+di とするとき
- 和：z1+z2 = (a+c) + (b+d)i
- 差：z1-z2 = (a-c) + (b-d)i
- 積：z1×z2 = (ac-bd) + (ad+bc)i（分配法則で展開し、i^2=-1を代入して整理する）
- 商：分母の共役複素数を分母・分子にかけて、分母を実数にしてから計算する
例：(2+3i)(1-2i) = 2-4i+3i-6i^2 = 2-4i+3i+6 = 8-i
共役複素数
z = a+bi の共役複素数は z̄ = a-bi（虚部の符号を反転させたもの）です。z×z̄ = a^2+b^2（実数）になるという性質を使って、複素数の割り算では分母の実数化を行います。
複素数平面（ガウス平面）
複素数を点として表す
複素数 z = a+bi は、複素数平面上の点(a, b)に対応させて表すことができます。横軸(実軸)にa、縦軸(虚軸)にbをとります。
絶対値
複素数zの絶対値は、原点から点zまでの距離です。
|z| = |a+bi| = √(a^2+b^2)
複素数の演算の図形的な意味
複素数の足し算・引き算は、複素数平面上でベクトルの足し算・引き算と同じ操作になります。z1とz2の差 |z1-z2| は、2点間の距離を表します。
二次方程式と複素数
実数の範囲では解を持たない二次方程式も、複素数の範囲では必ず解を持ちます。
例題：x^2 + 4 = 0 を解け。
解法：x^2 = -4、x = ±√(-4) = ±2i
判別式D = b^2-4acが負のとき、二次方程式 ax^2+bx+c=0 の解は、実部が等しく虚部の符号だけが異なる2つの複素数（共役な解）になります。
x = (-b ± √D) / 2a において、D<0のとき √D = √(-|D|) = i√|D| と置き換えて計算します。
まとめ
複素数は、虚数単位i(i^2=-1)を使ってa+biの形で表される数で、四則演算は実数の計算にi^2=-1という置き換えのルールを1つ加えるだけで行えます。複素数平面を使うと、複素数を点やベクトルとして視覚的に扱うことができ、絶対値は原点からの距離として理解できます。極形式やド・モアブルの定理など、より発展的な計算については公式集で詳しく扱います。