対数関数の基本｜logの定義から計算法則とグラフの性質まで

対数関数は、指数関数の逆関数として定義される関数です。指数関数y=a^xが「aを何乗するとxになるか」を扱うのに対し、対数関数y=log_a xは「aを何乗するとxになるか」という指数のほうをxの関数として表したものです。

対数の定義

a^p = M（a>0, a≠1, M>0）が成り立つとき、pをaを底とするMの対数といい

p = log_a M

と表します。aを「底」、Mを「真数」と呼び、底は1でない正の数、真数は正の数という条件（真数条件）があります。

例：2^3 = 8 なので、log_2 8 = 3

対数の基本性質

log_a a = 1（aを1乗するとaになるため）
log_a 1 = 0（aを0乗すると1になるため）
a^(log_a M) = M（指数関数と対数関数が互いに逆関数であることの表れ）

対数関数のグラフ

y = log_a x のグラフには、次のような特徴があります。

定義域はx>0（真数は正でなければならないため、y軸より左側にはグラフが存在しない）
点(1, 0)を必ず通る（log_a 1 = 0のため）
点(a, 1)を必ず通る（log_a a = 1のため）
a>1のとき、xが増加するとyも増加する（右上がりの単調増加関数）
0<a<1のとき、xが増加するとyは減少する（右下がりの単調減少関数）

y = log_a x のグラフは、指数関数 y = a^x のグラフと、直線y=xに関して線対称になります。これは、対数関数が指数関数の逆関数であることの図形的な表れです。

対数の計算法則

対数には、指数法則に対応する次の計算法則があります。

log_a MN = log_a M + log_a N（積は和になる）
log_a (M/N) = log_a M - log_a N（商は差になる）
log_a M^r = r log_a M（真数の指数は前に出せる）

これらの公式を使うと、掛け算・割り算・べき乗の計算を、対数を通すことで足し算・引き算・かけ算に変換できます。この性質から、対数は複雑な掛け算を簡単な足し算に変換する計算道具として、計算機が普及する以前は広く利用されていました。

対数関数を使った計算の例

例題：log_2 6 + log_2 (4/3) を計算せよ。

解法：log_a M + log_a N = log_a MN より

log_2 6 + log_2 (4/3) = log_2 (6 × 4/3) = log_2 8 = 3

常用対数

底が10の対数を常用対数といい、log_10 M と書きます（底の10を省略してlog Mと書くこともあります）。桁数の計算や、指数的に変化する量のグラフを見やすくする「対数目盛り」などで使われます。

まとめ

対数関数y=log_a xは、指数関数y=a^xの逆関数として、定義域x>0、点(1,0)を通るグラフの形を持ちます。底aが1より大きいか小さいかでグラフの増減が変わる点、真数条件(真数は正)を常に確認する点の2つが、対数関数を扱う上で特に注意すべきポイントです。積・商・べき乗の計算法則や底の変換公式など、より詳しい公式については公式集で扱います。