中学数学の証明問題｜三角形の合同条件と相似条件の使い方

図形の証明問題は、「なぜそう言えるのか」を筋道立てて説明する力を養う単元です。三角形の合同条件・相似条件という決まった道具を正しく使えば、初めて見る図形の問題でも証明を組み立てられます。

合同条件

2つの三角形が合同（形も大きさも完全に同じ）であることを示すには、次の3つの条件のいずれかが成り立つことを示せば十分です。

三角形の合同条件

3辺がそれぞれ等しい（3辺相等）
2辺とその間の角がそれぞれ等しい（2辺夾角相等）
1辺とその両端の角がそれぞれ等しい（1辺両端角相等）

「2辺とその間ではない角」や「対応しない角」が等しいだけでは合同は言えません。どの辺・角が対応しているかを正確に見極めることが重要です。

直角三角形の合同条件（追加の条件）

直角三角形には、通常の3条件に加えて次の2つの条件が使えます。

斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

相似条件

2つの三角形が相似（形が同じで大きさが違ってもよい）であることを示す条件は次の3つです。

三角形の相似条件

3組の辺の比がすべて等しい（3辺比相等）
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい（2辺比夾角相等）
2組の角がそれぞれ等しい（2角相等）

実際の証明問題では「2組の角がそれぞれ等しい」が最も使われる頻度が高い条件です。共通の角や、平行線の錯角・同位角を使って角の相等を示すことが多いためです。

証明の書き方

証明の基本構成

証明は、以下の3つのパートで構成するのが基本です。

仮定（問題文からわかっていること）を整理する
合同(相似)条件を満たす根拠を1つずつ示す
合同(相似)条件の名前を明示し、結論を書く

証明の書き方の例題

問題：AB=ACの二等辺三角形ABCで、頂角Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、BD=CDであることを証明せよ。

証明：

△ABDと△ACDにおいて

仮定より AB = AC …①

角Aの二等分線より ∠BAD = ∠CAD …②

共通の辺なので AD = AD …③

①、②、③より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ABD ≡ △ACD

合同な図形の対応する辺は等しいので

BD = CD

証明でよく使う根拠

対頂角は等しい
平行線の錯角・同位角は等しい
共通な辺・角はそのまま使える
二等辺三角形の底角は等しい
平行四辺形の対辺・対角は等しい

相似の利用（線分の長さを求める）

相似が証明できると、対応する辺の比が等しいことを使って、直接測れない線分の長さを計算で求められます。

例題：△ABCで、辺AB、AC上にそれぞれ点D、Eをとり、DE∥BCとする。AD=4、DB=2、DE=6のとき、BCの長さを求めよ。

解法：DE∥BCより2組の角が等しいので △ADE∽△ABC。相似比は AD:AB = 4:6 = 2:3。DE:BC = 2:3 なので、6:BC = 2:3、BC = 9

まとめ

証明問題は、合同・相似の条件という決まったルールに当てはめて論理を積み上げる練習です。まず「何と何が対応しているか」を図の中で正確に見極め、仮定から3つの根拠をそろえてから、条件の名前を明示して結論を書くという型を身につけることが上達の近道です。