一次関数の基本｜グラフの書き方と式の求め方

一次関数は、xの値が決まるとyの値が1つに決まり、その関係が y = ax + b という一次式で表せる関数です。中学2年生で学ぶ、以降の関数の学習すべての土台になる単元です。

一次関数の基本

式の形

y = ax + b

aを「傾き（変化の割合）」、bを「切片」と呼びます。b=0のとき y=ax となり、これは比例の特別な場合です。

傾き（変化の割合）

傾きaは、xが1増えたときにyがどれだけ変化するかを表します。

傾きa = yの増加量 / xの増加量

たとえばy = 2x + 3では、xが1増えるとyは2増えます。aが正の数なら右上がり、負の数なら右下がりのグラフになります。

切片

切片bは、グラフがy軸と交わる点のy座標です。x=0を代入するとy=bになることからわかります。

グラフの書き方

手順

切片bの点(0, b)をとる（y軸上の点）
傾きaを使って、そこから右にx1だけ進み、上（またはaが負なら下）にy1だけ進んだ点をとる（a = y1/x1となるように）
2点を直線で結ぶ

例：y = 2x + 1のグラフは、(0, 1)を通り、そこから右に1、上に2進んだ(1, 3)を通る直線です。

傾きの読み取り方

傾きが分数のときは、分母をxの増加量、分子をyの増加量として点を取ると正確に描けます。y = (2/3)x + 1 なら、右に3、上に2進んだ点を使います。

一次関数の式を求める

傾きと1点から求める

傾きaと、通る1点(x1, y1)がわかっているとき、y = ax + b に x1、y1を代入してbを求めます。

例題：傾きが3で、点(2, 5)を通る一次関数の式を求めよ。

解法：y = 3x + b に x=2、y=5 を代入すると 5 = 6 + b、よって b = -1。式は y = 3x - 1

2点から求める

2点(x1, y1)、(x2, y2)を通る一次関数の式は、まず傾きを求めてから切片を求めます。

傾きa = (y2-y1) / (x2-x1)

例題：2点(1, 4)、(3, 10)を通る一次関数の式を求めよ。

解法：傾き a = (10-4)/(3-1) = 6/2 = 3。y = 3x + b に (1, 4) を代入すると 4 = 3+b、b=1。式は y = 3x + 1

一次関数と方程式・不等式

連立方程式との関係

2つの一次関数のグラフの交点の座標は、2つの式を連立方程式として解いた解と一致します。グラフが1点で交わる、平行で交わらない、一致するという3パターンは、それぞれ連立方程式の解が1組だけある、解なし、無数にあるという状況に対応しています。

変域の問題

xの変域（範囲）が指定されているとき、yの変域はグラフの傾きが正か負かによって求め方が変わります。傾きが正ならxが最大のときyも最大、傾きが負ならxが最大のときyは最小になります。

一次関数の利用（文章題）

一次関数は、一定の割合で変化する現象を表すのに使われます。

水そうに一定量ずつ水を入れる（時間と水量の関係）
一定の速さで移動する物体の位置（時間と距離の関係）
一定料金＋従量制の料金プラン（使用量と料金の関係）

例題：基本料金800円に、1分ごとに20円加算される携帯電話プランがある。x分通話したときの料金yを式で表すと y = 20x + 800 となる。

まとめ

一次関数 y = ax + b は、傾きa（変化の割合）と切片b（y軸との交点）という2つの数字でグラフの形と位置が完全に決まります。傾きと1点、または2点の情報から式を求める手順を身につけておくと、文章題や図形との融合問題にもスムーズに対応できます。