中学数学の確率入門｜場合の数と確率の求め方

確率は「あることがらの起こりやすさ」を数で表したものです。中学数学では、樹形図や表を使って場合の数を正確に数えることが、確率を求める第一歩になります。

確率の基本

起こりうるすべての場合が同じ程度に起こると期待できるとき（同様に確からしいとき）、ことがらAの起こる確率P(A)は次の式で求められます。

P(A) = (Aの起こる場合の数) / (起こりうるすべての場合の数)

たとえば、1個のさいころを1回投げて偶数の目が出る確率は、偶数の目(2,4,6)が3通り、すべての目が6通りなので、3/6 = 1/2 です。

確率は必ず0以上1以下の値になります。P(A)=0は「絶対に起こらない」、P(A)=1は「必ず起こる」ことを意味します。

複数の操作を順番に行うときの場合の数は、樹形図（枝分かれの図）を書くと数え漏れ・重複なく数えられます。

例：硬貨を2枚投げるとき、表(オ)・裏(ウ)の出方は、1枚目がオなら2枚目はオ・ウの2通り、1枚目がウでも2枚目はオ・ウの2通りなので、樹形図から全部で4通り（オオ、オウ、ウオ、ウウ）とわかります。

2つのさいころを同時に投げる問題では、縦軸に1つ目の目、横軸に2つ目の目をとった表を作ると、36通り(6×6)のすべての組み合わせを整理して数えられます。

Aの起こり方がm通り、その後のBの起こり方がn通りあるとき、AとBが続けて起こる場合の数は m×n 通りです。硬貨を3枚投げる場合の数は 2×2×2 = 8通りとなります。

例題：1個のさいころを1回投げるとき、3の倍数の目が出る確率を求めよ。

解法：3の倍数の目は3、6の2通り。すべての目は6通り。確率は 2/6 = 1/3

例題：5本のうち2本が当たりのくじから1本引くとき、当たる確率を求めよ。

解法：当たりは2通り、全体は5通り。確率は 2/5

くじびきでは「引く順番によって確率が変わらない」という性質があり、先に引いても後に引いても当たる確率は同じです。

例題：1から9までの数字が1つずつ書かれた9枚のカードから1枚引くとき、素数が書かれたカードを引く確率を求めよ。

解法：1〜9の素数は2, 3, 5, 7の4通り。全体は9通り。確率は 4/9

「少なくとも1回は〜が起こる」確率を求めるときは、「1回も起こらない」余事象の確率を先に求め、1から引くほうが簡単な場合があります。

P(Aが少なくとも1回起こる) = 1 - P(Aが1回も起こらない)

例題：2個のさいころを同時に投げるとき、少なくとも1個は偶数の目が出る確率を求めよ。

解法：余事象は「2個とも奇数」。奇数は各さいころ3通りずつなので 3×3=9通り。全体は36通り。余事象の確率は9/36=1/4。求める確率は 1 - 1/4 = 3/4

確率の問題は、場合の数を正確に数えることがすべての土台です。樹形図・表・積の法則を使い分けて数え漏れや重複を防ぎ、「Aの場合の数 ÷ すべての場合の数」という基本の式に当てはめましょう。「少なくとも」という言葉が出てきたら、余事象を使えないか考えることも有効な戦略です。