ピタゴラスの定理（三平方の定理）の使い方

ピタゴラスの定理（三平方の定理）は、直角三角形の3辺の間に成り立つ a^2 + b^2 = c^2 という関係式です。図形問題を計算で解けるようにする万能ツールとして、中学3年生で学びます。

三平方の定理とは

直角三角形の直角をはさむ2辺の長さをa、b、斜辺（直角の向かいにある最も長い辺）の長さをcとすると、次の関係が常に成り立ちます。

a^2 + b^2 = c^2

たとえば、a=3、b=4の直角三角形の斜辺は、3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 より c=5 となります。この「3:4:5」の組は最も有名な直角三角形の辺の比で、覚えておくと計算を暗算で済ませられる場面が多くあります。

例題：直角をはさむ2辺が6cmと8cmの直角三角形の斜辺の長さを求めよ。

解法：c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100、c > 0 なので c = 10cm

例題：斜辺が13cm、他の1辺が5cmの直角三角形のもう1辺の長さを求めよ。

解法：a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144、a > 0 なので a = 12cm

斜辺を求めるときは2辺の2乗を足し、辺を求めるときは斜辺の2乗から引くという違いに注意しましょう。

縦a、横bの長方形の対角線の長さdは、対角線が長方形を2つの直角三角形に分けることから

d = √(a^2 + b^2)

で求められます。たとえば縦6cm、横8cmの長方形の対角線は √(36+64) = √100 = 10cmです。

座標平面上の2点A(x1, y1)、B(x2, y2)間の距離は、x座標の差とy座標の差を直角をはさむ2辺と見なすことで、次の式で求められます。

AB = √{(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2}

縦a、横b、高さcの直方体の対角線（最も長い対角線）の長さは、三平方の定理を2回使うことで求められます。まず底面の対角線を √(a^2+b^2) で求め、その対角線と高さcを2辺とする直角三角形に再度定理を適用すると

対角線の長さ = √(a^2 + b^2 + c^2)

という式が得られます。たとえば縦3cm、横4cm、高さ12cmの直方体の対角線は √(9+16+144) = √169 = 13cmです。

三平方の定理は「斜辺(最も長い辺、直角の向かい側の辺)」を特定しないと使えません。図の中でどの辺が直角の向かいにあるかを必ず確認しましょう。

√(a^2+b^2) を a+b と誤って計算してしまうミスがよく見られます。√の中で足し算をしてから、最後にまとめてルートを外すという順序を徹底しましょう。

三平方の定理は a^2 + b^2 = c^2 というシンプルな式ですが、斜辺を求める・辺を求める・座標間の距離・空間図形の対角線など、応用範囲は非常に広い定理です。3:4:5や1:2:√3といった代表的な辺の比を覚えておくと、計算のスピードと正確さの両方が向上します。