対数の公式集｜logの計算に必要な公式一覧
対数は指数の逆演算で、a^p = M のとき p = log_a M と表します（a > 0, a ≠ 1, M > 0）。ここでは対数計算に必要な公式を整理し、使い方のポイントとともに紹介します。
対数の定義と基本性質
定義
a^p = M ⟺ log_a M = p
aを「底（てい）」、Mを「真数（しんすう）」と呼びます。底は1でない正の数、真数は正の数という条件があります（真数条件）。
基本性質
- log_a a = 1
- log_a 1 = 0
- a^(log_a M) = M
対数の主要公式
積の対数
log_a MN = log_a M + log_a N
真数の掛け算は、対数の足し算になります。
商の対数
log_a (M/N) = log_a M - log_a N
真数の割り算は、対数の引き算になります。
べき乗の対数
log_a M^r = r × log_a M
真数の指数は、対数の前に係数として出せます。特に log_a (1/M) = -log_a M もこの公式の特別な場合です。
底の変換公式
log_a M = log_c M / log_c a（cはc>0, c≠1を満たす任意の数）
底の異なる対数を比較・計算するときに使います。たとえばlog_2 3を常用対数（底10）で表すと、log_2 3 = log_10 3 / log_10 2 となります。
常用対数と自然対数
常用対数
底が10の対数log_10 Mを常用対数と呼びます。桁数の計算や、数値の大きさを比較するときによく使われます。log_10 2 ≒ 0.3010、log_10 3 ≒ 0.4771という近似値は頻出のため覚えておくと計算が速くなります。
Nの桁数は、log_10 Nの整数部分に1を足した値で求められます（例：log_10 1000 = 3なので1000は4桁）。
自然対数
底がネイピア数e（e ≒ 2.71828）の対数を自然対数といい、ln Mまたはlog_e Mと書きます。微分・積分を扱う数学IIIや、指数関数的な変化（人口増加、放射性崩壊など）を扱う分野で登場します。
対数関数のグラフと性質
y = log_a xのグラフは、x>0の範囲で定義され、点(1, 0)を必ず通ります。
- a > 1のとき：xが増加するとyも増加する単調増加関数
- 0 < a < 1のとき：xが増加するとyは減少する単調減少関数
y = log_a xのグラフは、y = a^x（指数関数）のグラフと直線y=xに関して線対称になります。対数関数が指数関数の逆関数であることの表れです。
対数方程式・不等式の解き方
対数方程式
log_a X = log_a Yの形にできればX = Yとして解けます。ただし真数条件（X>0かつY>0）を必ず確認し、条件を満たさない解は除外する必要があります。
例題：log_2(x+1) = log_2(2x-3)を解く。
真数条件：x+1>0かつ2x-3>0より x > 3/2。
x+1 = 2x-3を解くとx = 4。これは真数条件を満たすので、x=4が解。
対数不等式
底が1より大きいか小さいかで不等号の向きが変わる点に注意が必要です。a>1のとき log_a X < log_a Y ⟺ X < Y ですが、0<a<1のときは log_a X < log_a Y ⟺ X > Y と不等号の向きが逆転します。
まとめ
対数の公式は、積・商・べき乗の3つの基本変形と底の変換公式を押さえれば、ほとんどの問題に対応できます。特に真数条件を忘れずに確認すること、常用対数の近似値（log_10 2、log_10 3）を覚えておくことが、計算問題・桁数問題の両方で役立ちます。